主成分分析のbiplotと相関係数の関係について
1. 主成分分析
まずは主成分分析をしてみる。次のcolaboratryを参照してほしい。
https://colab.research.google.com/drive/1Te2yuuMpqYy_UkQxinWAAZ-kxtcPVZpL?usp=sharing
ワインのデータから、 'Color intensity', 'Flavanoids', 'Alcohol', 'Proline'のデータについて、scikit-learnのPCAモジュールを用いて主成分分析を行っている。
なお、主成分分析とデータについては主成分分析を Python で理解するを参照した。
colaboratryの1章で、主成分分析をしてbiplotを実行している。
また、各変数の相関係数は次のようになった。
| Color intensity | Flavanoids | Alcohol | Proline | |
|---|---|---|---|---|
| Color intensity | 1.000000 | -0.172379 | 0.546364 | 0.316100 |
| Flavanoids | -0.172379 | 1.000000 | 0.236815 | 0.494193 |
| Alcohol | 0.546364 | 0.236815 | 1.000000 | 0.643720 |
| Proline | 0.316100 | 0.494193 | 0.643720 | 1.000000 |
このbiplot上の変数同士の角度と、相関係数にはなにか関係があるだろうか？例えば、角度が0度に近ければ相関が高く、90度近ければ相関が低いと言えるだろうか？
colaboratryの2章で相関係数とbiplotの角度の$\cos$についてプロットしてみている。
線形な関係がありそうである。
相関係数、主成分分析、どちらも基本的な線形代数の手法を用いて導くことができる。この関係について調査する。
2. 分散共分散行列と相関行列の関係
データ数$n$の2種類のデータ$x,y$をどちらも平均$0$、不偏分散を$1$に標準化しておく 相関係数$r _ {xy}$は次のように変形できる。
\begin{aligned}r_{xy}&=\frac{\Sigma(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\Sigma(x-\bar{x})^2}\sqrt{\Sigma(y-\bar{y})^2}}\\&=\frac{\Sigma(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{n-1}\left/\left[\sqrt{\frac{\Sigma(x-\bar{x})^2}{n-1}}\sqrt{\frac{\Sigma(y-\bar{y})^2}{n-1}}\right]\right.\\&=s_{xy}\end{aligned}
となる。ただし$s _ {xy}$は不偏共分散で、次のように計算する。
s_{xy}=\frac{\Sigma(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{n-1}
また、データを標準化しているので、
となることを用いた。
よって、標準化された、$m$種類のデータについて$n$個観測した、$n$行$m$列のデータ$X$を次のように計算した不偏分散共分散行列は相関係数行列と等しくなる。
\Sigma = \frac{X^T X}{n - 1}
3. 主成分分析と固有値分解
主成分分析は分散共分散行列を固有値分解することでできる。主成分分析について詳しくは↓の資料、もしくは他の書籍などを参照。
\begin{aligned}\Sigma &= V_{pca} L V^T_{pca}\\V_{pca} &= \left( \begin{array}{cccc}\pmb{v}_1 & \pmb{v}_2 & \cdots & \pmb{v}_m\end{array} \right)\\&=\left( \begin{array}{c}\pmb{u}_1^T \\\pmb{u}_2^T \\\vdots \\ \pmb{u}_m^T\end{array} \right)\\L &= \left( \begin{array}{cccc}\lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0\\\vdots & & \ddots & & \vdots\\\\0 & 0 & & \cdots & \lambda_m\end{array} \right)\end{aligned}
この時、固有値は大きい順に並び替えてあるものとする。 そして、元のデータを主成分に変換したい場合は$XV _ {pca}$を計算する。
4. 寄与度プロット(biplot)の角度と相関係数
PCAでは、第一主成分と第二主成分における観測変数の寄与度をプロットするbiplotによって、データ全体の傾向を掴もうとすることがよく行われる。そのときの寄与度プロットでの$i$列目と$j$列目の観測変数の矢印同士の角度を$\theta _ {ij}$とすると、その余弦$\cos{\theta _ {ij}}$はベクトル$\pmb{u} _ i$と$\pmb{u} _ j$の第1成分、第2成分を成分としたベクトル$\pmb{u}' _ i$、$\pmb{u}' _ j$の内積を$\|\pmb{u}' _ i\|\|\pmb{u}' _ j\|$で割ったものとなる。つまり、
\begin{aligned}\cos{\theta_{ij}}&=\frac{\pmb{u}'_i\cdot\pmb{u}'_j}{\|\pmb{u}'_i\|\|\pmb{u}'_j\|}\\&=\frac{u_{i1}u_{j1}+u_{i2}u_{j2}}{\sqrt{(u_{i1}^2+u_{j1}^2)(u_{i2}^2+u_{j2}^2)}}\end{aligned}
一方、$i$列目と$j$列目の変数の相関係数は
\begin{aligned}r_{ij}&=\pmb{u}_i^TL\pmb{u}_j\\&=(u_{i1},u_{i2},\cdots)\left( \begin{array}{cccc}\lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0\\\vdots & & \ddots & & \vdots\\\\0 & 0 & & \cdots & \lambda_m\end{array} \right)(u_{j1},u_{j2},\cdots)^T\\&=\lambda_1u_{i1}u_{j1}+\lambda_2u_{i2}u_{j2}+\cdots\end{aligned}
である。この2つは等しくない。しかし、もし仮にPC1とPC2の2つの分散がすべての分散のかなりの割合を占めていて、PC3以降の分散が無視できる場合、
\begin{aligned}r_{ij}&\approx\lambda_1u_{i1}u_{j1}+\lambda_2u_{i2}u_{j2}\\&=(\sqrt{\lambda_1}u_{i1},\sqrt{\lambda_2}u_{i2})\cdot(\sqrt{\lambda_1}u_{j1},\sqrt{\lambda_2}u_{j2})^T\\&=\pmb{u}''_i\cdot\pmb{u}''_j\\&=\|\pmb{u}''_i\|\|\pmb{u}''_j\|\cos{\theta'_{ij}}\end{aligned}
となる。PC1とPC2における観測変数の寄与度にそれぞれPC1とPC2の標準偏差をかけた座標でプロットした時、つまり$(\sqrt{\lambda _ 1}u _ {i1},\sqrt{\lambda _ 2}u _ {i2})$、$(\sqrt{\lambda _ 1}u _ {j1},\sqrt{\lambda _ 2}u _ {j2})$などとプロットした時の角度$\theta'$について考える。このプロットの方法を修正biplotと呼ぶことにする。このとき、修正biplotのベクトルの長さ$\|\pmb{u}''\|$がどれもほぼ同じ$(\approx l)$であれば、
r_{ij}\approx l^2\cos{\theta'_{ij}}
となり、$\cos{\theta' _ {ij}}$は相関係数$r _ {ij}$と比例する。また、ベクトルの長さが一定以上あり、$\cos{\theta' _ {ij}}$が0であれば、つまりベクトル同士が90度であれば、相関は0といっていい。
5. 具体例
5.1 ワインデータ
先程のワインの例をもう1度見てみよう。
https://colab.research.google.com/drive/1Te2yuuMpqYy_UkQxinWAAZ-kxtcPVZpL?usp=sharing
colaboratryの3章で固有値、固有ベクトル、そして分散の割合を確認している。
固有値(=分散)$\lambda _ i$は次のようになっていた。
| 固有値(分散) | |
|---|---|
| PC1 | 2.134122 |
| PC2 | 1.238082 |
| PC3 | 0.339148 |
| PC4 | 0.288648 |
そして固有ベクトル$V _ {pca}$、pca.components_.Tは次のようになっていた。
| PC1 | PC2 | PC3 | PC4 | |
|---|---|---|---|---|
| Color intensity | 0.409416 | 0.633932 | 0.636547 | -0.159113 |
| Flavanoids | 0.325547 | -0.725357 | 0.566896 | 0.215651 |
| Alcohol | 0.605601 | 0.168286 | -0.388715 | 0.673667 |
| Proline | 0.599704 | -0.208967 | -0.349768 | -0.688731 |
この表の１行それぞれが$\pmb{u}$ベクトルである。
分散の割合は次のようになっていた。
| 割合 | |
|---|---|
| PC1 | 0.533531 |
| PC2 | 0.309520 |
| PC3 | 0.084787 |
| PC4 | 0.072162 |
PC1とPC2の分散が全体の約84%の分散を占めている。
また、修正biplotでのベクトルのnormは次のようになっていた
| 修正biplotでのベクトルの長さ | |
|---|---|
| Color intensity | 0.924809 |
| Flavanoids | 0.936794 |
| Alcohol | 0.904300 |
| Proline | 0.906416 |
ベクトルの長さがだいたい同じである。よって、修正biplotの方法でプロットすれば、角度の$\cos$が相関係数が多少比例するはずである。
colaboratryの5章で通常のbiplotと修正biplotを比較している。
PC1の分散がPC2より大きい分、修正biplotでは通常のbiplotに比べて横に引き伸ばされている。
そしてcolaboratryの6章で相関係数と通常のbiplotと修正biplotそれぞれでの角度の$\cos$をプロットしている。修正biplotでは相関係数と$\cos$がほぼ比例していることがわかる。
5.2 すべてのワインデータ
colaboratryのAppendix 2章でワインデータについて13ある全ての観測変数でPCAを行っている。修正biplotは次のようになった。
相関係数と$\cos$の比較は次のようになった。
このときPC1とPC2の分散が全体の約56%の分散を占めてた。
つまりこの場合、PC1とPC2の分散が全体の大部分を占めていて、修正biplotのベクトルの長さがだいたい同じであるので相関係数と修正biplotの角度の$\cos$がだいたい比例している。
5.3 ランダムなデータ
colaboratryのAppendix 3章で観測変数が10あるランダムなデータを生成してPCAを行っている。1変数目、2変数目、3変数目同士、そして4変数目、5変数目、6変数目同士の相関が高くなるようにした。それ以外の相関は低く設定してある。修正biplotは次のようになった。
相関係数と$\cos$の比較は次のようになった。
このときPC1とPC2の分散が全体の約49%の分散を占めてた。
つまりこの場合は、PC1とPC2の分散が全体の大部分を占めてはいるが、修正biplotのベクトルの長さがばらばらなので相関係数と修正biplotの角度の$\cos$は比例しない。
6.結論
- PC1とPC2の分散が全体の大部分を占めていて、修正biplotのベクトルの長さがだいたい同じである場合、相関係数と修正biplotの角度の$cos$はほぼ比例する。
- PC1とPC2の分散が全体の大部分を占めていて、修正biplotのベクトルの長さが少しでもあり、ベクトル同士の角度が90度に近いものは相関は小さい。
7. 相関を見たいときは
相関を見たいときは、次のようにheatmapやグラフ(ネットワーク図)で表したほうがいいと思われる。
https://colab.research.google.com/drive/1Ga7XhsNVs7H8zO7W5O--rotPiKxDUBLV?usp=sharing
クラス分類をone-hot encodingにして相関を取り、相関係数の大きさをedgeの太さにしてグラフ化した。
How to install psi4 in a Docker container with a jupyter environment
Psi4 is a Python module that can perform quantum chemistry calculations. This article explain how to compile and install Psi4 in the jupyter/minimal-notebook container.
How I came to write this article
I tried to install Psi4 in the jupyter/minimal-notebook container. However, as shown in the question in SO, I could not install it due to UnsatisfiableError. What should I do in this case? Psi4 is open source software. The answer was right in front of me. All I had to do was follow the philosophy of OSS. Yes, I should build it myself.
1. Configure the resources you provide to docker
Building Psi4 requires a lot of CPU and memory resources, so make sure you provide at least 3 cores and 4GB memory for docker. If you are a Windows user and using docker desktop for Windows, you can set this up in the resources section of the docker desktop setting. However, this setting is only required in Hyper-V mode. Because if you are using WSL 2 backend, these resources are managed by Windows. Windows will allocate resources containers need, when containers need them. Please read the documentation for more details.
2. Get familiar with Jupyter Docker Stacks
The jupyter/minimal-notebook I am using here is one of the family of Jupyter Docker Stacks. This docker image provides a jupyter environment. The default user is jovyan, but if you run bash as jovyan, you can't install packages by apt-get because jovyan doesn't have permissions. You can start bash as the root by specifying --user root when you docker run. In addition to this, there are various other settings. Read the documentation to get familiar with them.
3. Start bash in the container
Start bash in the container as root.
$ docker exec -it [container ID] /bin/bash (base) root$
4. Clone Psi4 repository
Clone the Psi4 repository.
(base) root$ git clone https://github.com/psi4/psi4.git (base) root$ cd psi4
5. Create new conda environment
Start bash as root. Psi4 only supports until python 3.7, so I should create a conda environment for python 3.7.
(base) root$ conda create -n quantum python=3.7 (base) root$ conda activate quantum (quantum) root$
Add a new quantum environment to jupyter so that you can program in the quantum environment.
(quantum) root$ conda install ipykernel (quantum) root$ python -m ipykernel install --user --name=quantum
Please read this article for more details.
6. Install the packages needed to build
Type the following command to install the packages required for the build. Psi4 documentation lists tools and dependencies required for the build.
(quantum) root$ apt-get update (quantum) root$ apt-get install -y build-essential cmake clang libssl-dev
BLAS and LAPACK libraries are also required. I used openblas. Uh, do you say I should build BLAS too if I follow the OSS philosophy? Shhh!
(quantum) root$ apt-get install -y libopenblas-base libopenblas-dev
We will also need numpy, networkx, pint, and pydantic, which we will install with conda.
(quantum) root$ conda install -y numpy networkx pint pydantic
Although it is not mentioned in the documentaion, if you read CmakeList.txt carefully, you will see that MPFR and Eigen library is also required. Install them as well.
(quantum) root$ apt-get install -y libmpfr-dev libeigen3-dev
7. Buid and install
It's time to build! Type the following command to Configure and Generate to build.
(quantum) root /psi4$ mkdir build (quantum) root /psi4$ cd build (quantum) root /psi4/build$ cmake ..
Let's build!
(quantum) root /psi4/build$ make -j`getconf _NPROCESSORS_ONLN`
getconf _NPROCESSORS_ONLN indicates the number of processors available, i.e., the number of threads available, so this command will build with all available processors. If you are using docker desktop for Windows in Hyper-V mode, this is fine. However, if you use WSL2 backend, Windows will try to allcate all processors your PC has to build, which causes systemc instability and memory shortage. It is better to use half the number of all processors, i.e. the number of cores. I am using docker desktop with WSL2 backend and my PC has 8 cores and 16 processors, so I typed the following command.
(quantum) root /psi4/build$ make -j8
This build takes several hours.
After build is complete, type the following command to install it.
(quantum) root /psi4/build$ make install
8. Specify install directry as python import path
In the default configuration, the binaries, includes, libraries, etc. should be installed in /usr/local/psi4. In order to use Psi4 as python module, it is needed to append /usr/local/psi4/lib to the python import path. You can do this by appending the directry to sys.path each time as follows.
import sys sys.path.append("usr/local/psi4/lib") # you can import psi4 from now import psi4
Here is another way to simplify your Python code. Make psi4.pth file in /opt/conda/envs/quantum/lib/python3.7/site-packages and specify /usr/local/psi4/lib into it.
(quantum) root $ cd /opt/conda/envs/quantum/lib/python3.7/site-packages (quantum) root /opt/conda/envs/quantum/lib/python3.7/site-packages$ vi psi4.pth ### specify `/usr/local/psi4/lib` into `psi4.pth` and save. ###
If you do this, you can import Psi4 anyweher in the quantum environment.
9. Enjoy quantum chemistry calculations!
If you import Psi4 successfully, you can run the following code and calculate the energy of a watar molcule. Enjoy!
import psi4
h2o = psi4.geometry("""
O
H 1 0.96
H 1 0.96 2 104.5
""")
psi4.energy('scf/cc-pvdz')
>>-76.02663273508807
単位の約分と単位の換算について
単位の約分と単位の換算について気づいたことをメモします。
単位の約分について
例えば、気体の状態方程式$pV=nRT$で、体積$V$が$1.00\times 10 ^ {-3}\ \mathrm{m} ^ 3$、温度$T$が$288\ \mathrm{K}$、分子量$n$が$1.00\ \mathrm{mol}$のとき、圧力は次のようになります。
p=\frac{nRT}{V}=\frac{1.00\ \mathrm{mol}*8.31\ \mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}*288\ \mathrm{K}}{1.00\times 10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=2.39\times 10^6\ \mathrm{Pa}
このとき、$\mathrm{J=N\cdot m}$、$\mathrm{Pa=N\cdot m ^ {-2}}$ですから、単位部分だけ見れば
\begin{aligned}\frac{\cancel\mathrm{mol}*\mathrm{J\cdot \cancel{K^{-1}}\cdot \cancel {mol^{-1}}}*\cancel\mathrm{K}}{\mathrm{m^3}}&=\frac{\mathrm{N\cdot m}}{\mathrm{m^3}}\\&=\mathrm{Pa}\end{aligned}
と単位の約分ができて、単位部分も含め辻褄が合っています。このように、文字式に単位も含め数値を代入することや、単位は約分できることは中学の物理や化学で最初で教えられることだと思います。
単位の換算について
一方圧力は$\mathrm{Pa}$の他に、水銀柱ミリメートル$\mathrm{mmHg}$で表すこともできます。$1\ \mathrm{Pa}=7.52\times 10 ^ {-3}\ \mathrm{mmHg}$です。この式が単位も含め成り立つとすると、$\mathrm{Pa}$で全体を割って、
1=7.52\times 10^{-3}\ \mathrm{mmHg\cdot Pa^{-1}}
とできるはずです。このとき左辺の$1$には単位はありません。先程の、$p=2.39\times 10 ^ 6\ \mathrm{Pa}$という式の両辺にこの式をかければ、
\begin{aligned}p&=2.39\times 10^6\ \mathrm{Pa}*7.52\times 10^{-3}\ \mathrm{mmHg\cdot Pa^{-1}}\\&=1.80\times10^{4}\ \mathrm{mmHg}\end{aligned}
と$\mathrm{mmHg}$に換算できます。このように、「1=数字 ［換算後の単位/換算前の単位］」という式を両辺に掛け、単位の約分をすることで単位の換算ができるようになりいます。
3つの単位に関する換算
標準気圧を単位とした$\mathrm{atm}$では$1\ \mathrm{atm}=760\ \mathrm{mmHg}$です。この式を変形して、
\frac{\mathrm{atm}}{\mathrm{mmHg}}=760
という式を作ります。このときも右辺には単位はありません。これを$1\ \mathrm{mmHg}=1.33\times10 ^ 2\ \mathrm{Pa}$の両辺に掛けると
\begin{aligned}1\ \cancel\mathrm{mmHg}*\frac{\mathrm{atm}}{\cancel\mathrm{mmHg}} &= 1\ \mathrm{atm}\\&=1.33\times10^2\ \mathrm{Pa}*760\\&= 1.01\times10^5\ \mathrm{Pa}\end{aligned}
と$\mathrm{atm}$と$\mathrm{Pa}$の関係式が得られます。このように3つの単位に関する換算でも単位の約分をうまく使うと、見通しよく換算できると思います。
まとめ
「1=数字 ［換算後の単位/換算前の単位］」という関係式をいろいろ変形して使うと、見通しよく換算できることが分かりました。ここで挙げた例は単純なので、このような計算をしなくてもすぐに換算できると思いますが、複雑な単位の換算をしなければいけないときは役に立つと思います。
Markdownの数式をKaTeXで高速で表示できるようにした
いままで作ってきた
の変換プログラムをKaTeXに対応させました。はてなブログにそのままTeXの数式を渡すと描写にMathJaxを使うようで、描写がかなり遅いです。数式をKaTeXで変換するようなJavaScriptを入れることで、だいぶ表示を高速化できました。
Markdown→はてな記法html
Markdown→はてな流Markdown
使い方
どちらもmd_parserフォルダ内のmd_parser.pyを次のようにインポートして使います。
from md_parser import md_parser md_parser.parse_md_to_hatena(pathlib.Pathオブジェクト,style="default")
styleでスタイルを指定できます。
- デフォルトの
defaultははてなブログにそのまま数式を渡す形になります。はてなブログは数式の表示にGoogle Charts APIかMathJaxを使っているらしいです。これはかなり遅いです。 katexを指定すれば、KaTeXで高速にレンダリングしてくれるようになります。KaTeXのテスト - 七誌の開発日記のコードをいただきました。またインライン数式については[]~[]で囲うことではてなキーワードの自動リンクを無効にするようにしているので、はてなキーワードの自動リンクに気を遣う必要はありません。
参考サイト
以下のサイトを参考にさせていただきました。ありがとうございました。
ボルツマン因子と正規分布、ガンマ分布、マクスウェル分布の関係
- 作者:馬場 敬之
- 発売日: 2014/11/19
- メディア: 単行本
マセマの「統計力学 キャンパスゼミ」で統計力学を勉強中なのですが、この本にはマクスウェル分布が出てきません。ただ、少し考えるとボルツマン因子$e ^ {-E/kT}$からマクスウェル分布が出せました。そこで、ボルツマン因子、マクスウェル分布、統計学の正規分布、ガンマ分布の関係を整理してみます。
統計学
- 作者:達也, 久保川
- 発売日: 2017/04/07
- メディア: 単行本
まず統計の知識を整理します。「久保川達也・現代数理統計学の基礎」を参考にしました。
分布関数と確率密度関数
確率変数$X$の分布関数を$F _ X(x)$、確率密度関数を$f _ X(x)=\frac{d}{dx}F _ X(x)$と書きます。この記事では確率変数を大文字、その実現値を小文字で書くことにします。
変数変換
確率変数$X$を$Y=g(X)$と変換したとき、Yの確率密度関数$f _ Y(y)$は
f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=\frac{d}{dy}P(X\in{x|g(x)\le y})
から導かれます。特に、$g(\cdot)$が単調増加、あるいは単調減少関数の場合は次で与えられます。
f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\frac{1}{|g'(g^{-1}(y))|}
平方変換
確率変数$X$の確率密度関数を$f _ X(x)$とします。$X$の平方変換$Y=X ^ 2$に対して、Yの確率密度関数は
f_Y(y)=\left[f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})\right]\frac{1}{2\sqrt{y}}
で与えられます。特に、$f _ X(x)$が$y$軸に関し対称なら、$f _ Y(y)=f _ X(\sqrt{y})/\sqrt{y}$となります。
正規分布
確率変数$X$が平均$\mu$、分散$\sigma ^ 2$の正規分布に従うとき、$X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma ^ 2)$と書き、$X$の確率密度関数は次のようになります。
ガンマ分布
確率変数$X$の確率密度関数が次のように与えられるとき、$X$はガンマ分布に従うといい、$X\sim Ga(\alpha,\beta)$と書きます。
f_X(x|\alpha,\beta)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\frac{1}{\beta}\left(\frac{x}{\beta}\right)^{\alpha-1}e^{-x/\beta}
$\Gamma(\alpha)$はガンマ関数です。また$X\sim Ga(\alpha,\beta)$の期待値は$\alpha\beta$で分散は$\alpha\beta ^ 2$です。
確率変数が$Z\sim\mathcal{N}(0,\sigma ^ 2)$に従うとき、$Z ^ 2$は$Ga(\frac{1}{2},2\sigma ^ 2)$に従います。これは平方変換で導くことができます。また、$\sigma ^ 2=1$のとき、$Z ^ 2\sim Ga(\frac{1}{2},2)$となりますが、これは自由度$1$のカイ二乗分布といい、$Z ^ 2\sim \chi _ 1$と表します。
多次元確率分布
2つの確率変数の組$(X,Y)$が$(x,y)$周辺となる確率は同時確率密度関数$f _ {X,Y}(x,y)$を用いて表します。$X$単体、$Y$単体の確率密度関数は周辺確率密度関数と呼ばれ次のように表します。
f_X(x)=\int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y) dy
確率の独立性
同時確率密度関数がそれぞれの確率密度関数の積で表せるとき、独立であると言います。次の場合$X$と$Y$は独立です。
f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)
独立であるということは、$X$は$Y$がどんな値になるかに依存せずに、確率密度関数$f _ X(x)$で表される分布に従うということです。
多変数確率変数の変数変換
確率変数$(X,Y)$を$S=g _ 1(X,Y)$、$T=g _ 2(X,Y)$と変数変換したい場合、$(X,Y)\leftrightarrow(S,T)$が1対1対応なら、$(S,T)$の同時確率密度関数はヤコビアン$J(s,t)$を用いて次のように書けます。
f_{S,T}(s,t)=f_{X,Y}(x(s,t),y(s,t))|J(s,t)|
ガンマ分布に従う確率変数同士の和
独立な確率変数$X$、$Y$がそれぞれ$X\sim Ga(\alpha _ 1,\beta)$、$Y\sim Ga(\alpha _ 2,\beta)$のとき、その和$Z=X+Y$は$Ga(\alpha _ 1+\alpha _ 2,\beta)$に従います。
ボルツマン因子とマクスウェル分布の関係
「統計力学 キャンパスゼミ」p69の結合系の熱浴の理論、またはp76のカノニカル・アンサンブル理論からエネルギーの確率はボルツマン因子$e ^ {-E/kT}$に比例します。ここで$k$はボルツマン定数、$T$は温度です。$\pmb{q}$を一般化座標、$\pmb{p}$を一般化運動量とし、位相空間上の点$(\pmb{q},\pmb{p})$でエネルギーが$E(\pmb{q},\pmb{p})$となる確率密度$f(\pmb{q},\pmb{p})$は次のように与えられます。
f(\pmb{q},\pmb{p})=\frac{e^{-E/kT}}{\int\int_{-\infty}^\infty e^{-E/kT} d\pmb{q} d\pmb{p} }
注意しなくてはならないのが、これは変数が$(\pmb{q},\pmb{p})$である関数なので、$E$の確率密度を表していますが、$E$を変数にとる確率密度関数にはなっていない点です。(次に示しますが、自由粒子の場合は$E$の確率密度関数はガンマ分布となります。)
$x$方向にしか動かない1自由粒子の場合
質量$m$の1つの粒子が$x$方向にしか動かない1次元運動をしている場合、$x$方向の運動量を$p _ x$としてエネルギーは次のように表せます。
E=\frac{1}{2m}p_x^2
これをボルツマン因子の式に代入すれば、係数を$A$として確率密度関数は次のように表せます。
f(p_x)=A\exp{\left[-\frac{p_x^2}{2mkT}\right]}
係数$A$はこの確率密度関数を$p _ x$で積分したときに$1$になるようにすればよく、$p _ x$についての関数の形に注目すればこれは正規分布と同じ形です。したがって、$p _ x$は$\mathcal{N}(0,mkT)$に従うと言えます。(ボルツマン因子の式はエネルギー$E$についての確率密度なのにここで$p _ x$についての確率密度関数としてしまっているのは不正確な気がしますが無視します。)
よって、$p _ x ^ 2$はガンマ分布$Ga(\frac{1}{2},2mkT)$に従います。よってエネルギー$E=\frac{1}{2m}p _ x ^ 2$は変数変換を考えれば$Ga(\frac{1}{2},kT)$に従います。ガンマ分布$Ga(\alpha,\beta)$の期待値は$\alpha\beta$でしたので、1次元自由粒子のエネルギーの期待値$\langle E\rangle$は
\langle E\rangle=\frac{1}{2}kT
となります。
2次元1自由粒子の場合
次に$x$、$y$方向に2次元運動をしている自由粒子について考えます。エネルギーは次のように表せます。
E=\frac{1}{2m}\left(p_x^2+p_y^2\right)
これをボルツマン因子の式に代入すれば、係数を$A$として$(p _ x,p _ y)$の同時確率密度関数は次のように表せます。
\begin{aligned}f(p_x,p_y)&=A\exp{\left[-\frac{p_x^2+p_y^2}{2mkT}\right]}\\&=\sqrt{A}\exp{\left[-\frac{p_x^2}{2mkT}\right]}\sqrt{A}\exp{\left[-\frac{p_y^2}{2mkT}\right]}\end{aligned}
同時確率密度関数が$p _ x$、$p _ y$の関数の積の形に書けたので、$p _ x$と$p _ y$は独立で、それぞれ$\mathcal{N}(0,mkT)$に従います。よって$p _ x ^ 2$と$p _ y ^ 2$は独立にガンマ分布$Ga(\frac{1}{2},2mkT)$に従います。よってガンマ分布に従う確率変数同士の和の性質から
\begin{aligned}p_x^2+p_y^2&\sim Ga(1,2mkT)\\E=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}&\sim Ga(1,kT)\end{aligned}
よって2次元自由粒子のエネルギーの期待値$\langle E\rangle$は
\langle E\rangle=kT
となります。
ただ、「確率密度の関数が運動量の関数の積の形に表せた→独立だからそれぞれ正規分布に従う→よってエネルギーはガンマ分布に従う」(※)というのはちょっと納得できない部分もあるので、変数変換で直接エネルギーの確率密度関数を導出してみます。
(※)の証明
\begin{aligned}f_{X,Y}(x,y)&=\frac{a}{\pi}e^{-a(x^2+y^2)}\\&=\sqrt{\frac{a}{\pi}}e^{-ax^2}\sqrt{\frac{a}{\pi}}e^{-ay^2}\end{aligned}
を考えます。($\cdots(a1)$)
また、もし$X$,$Y$が独立に$\mathcal{N}(0,1/2a)$に従うなら、$S=X ^ 2+Y ^ 2$は$Ga(1,1/a)$に従うと予想されます。$Ga(1,1/a)$の確率密度関数は
f_X(x|1,\frac{1}{a})=\frac{1}{\Gamma(1)}a(ax)^{1-1}e^{-ax}=ae^{-ax}
となります。($\cdots(a2)$)
式$(a1)$を$S=X ^ 2+Y ^ 2$と変数変換したときの$S$の確率密度関数が、式$(a2)$に一致すれば、(※)は正しいとしてよさそうです。
そこで多変数の変数変換をします。$S=X ^ 2+Y ^ 2$、$T=X$とすると、$x=t$、$y=\pm\sqrt{s-t ^ 2}$なので
\begin{aligned}J(s,t)=\frac{1}{J(x,y)}&=det^{-1}\begin{pmatrix}\frac{ds}{dx} & \frac{ds}{dy}\\\frac{dt}{dx} & \frac{dt}{dy}\end{pmatrix}\\&=det^{-1}\begin{pmatrix}2x & 2y\\1 & 0\end{pmatrix}\\&=\mp\frac{1}{2\sqrt{s-t^2}}\end{aligned}
ただ、$(X,Y)\leftrightarrow(S,T)$が1対1対応ではありません。多変数の変数変換の式は1対1対応でないと使えないのですが、とりあえず$y\gt 0$の場合のみ考えると、
\begin{aligned}f_{S,T}(s,t;y\gt 0)=f_{X,Y}(x,y)\frac{1}{2\sqrt{s-t^2}}\\=\frac{a}{\pi}\frac{e^{-as}}{2\sqrt{s-t^2}}\end{aligned}
なので、$y\gt 0$の場合の$S$の周辺確率密度関数は
f_{S}(s;y\gt 0)=\int_{-\sqrt{S}}^{\sqrt{S}}\frac{a}{\pi}\frac{e^{-as}}{2\sqrt{s-t^2}}dt
ここで$u=t/\sqrt{s}$と変数変換すると$t:-\sqrt{S}\rightarrow\sqrt{S}$で$u:-1\rightarrow1$で、$du/ds=1/\sqrt{s}$なので、
\int_{-\sqrt{S}}^{\sqrt{S}}\frac{1}{\sqrt{s-t^2}}dt=\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{s}}\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{1-u^2}}du
さらに$u=\sin\theta$とすれば、$u:-1\rightarrow1$で$\theta:-\pi/2\rightarrow\pi/2$で、$du/d\theta=\cos\theta$なので、
\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos\theta}{\sqrt{1-\sin^2{\theta}}}d\theta=\pi
となります。よって、
f_S(s;y\gt 0)=\frac{a}{2}e^{-as}
となります。$y\lt 0$の場合も同じ式が出てくるので、単純この式を2倍すればいいとすれば、
f_S(s)=ae^{-as}
となります。よって式$(a2)$と一致しました。よって、「確率密度の関数が運動量の関数の積の形にかけた→独立だからそれぞれ正規分布に従う→よってエネルギーはガンマ分布に従う」としてよさそうです。
3次元1自由粒子の場合
次に$x$、$y$、$z$方向の3次元運動をしている自由粒子について考えます。これまでと同様、$p _ x$、$p _ y$と$p _ z$は独立で、それぞれ$\mathcal{N}(0,mkT)$に従います。よって$p _ x ^ 2$、$p _ y ^ 2$と$p _ z ^ 2$は独立にガンマ分布$Ga(\frac{1}{2},2mkT)$に従います。よってガンマ分布に従う確率変数同士の和の性質から
\begin{aligned}p_x^2+p_y^2+p_z^2&\sim Ga(\frac{3}{2},2mkT)\\E=\frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m}&\sim Ga(\frac{3}{2},kT)\end{aligned}
よって3次元自由粒子のエネルギーの期待値$\langle E\rangle$は
\langle E\rangle=\frac{3}{2}kT
となります。
マクスウェル分布
いよいよマクスウェル分布を導出します。3次元運動をしている自由粒子の速さ$v(v\ge0)$は、$x$方向の速度が$v _ x=p _ x/m$と表せられることを使って、次のように表せます。
\begin{aligned}v&=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\\&=\frac{1}{m}\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}\end{aligned}
ここで$p=\sqrt{p _ x ^ 2+p _ y ^ 2+p _ z ^ 2}$と定義すると$u=p ^ 2$はガンマ分布$Ga(3/2,2mkT)$に従います。変数変換によって、$p=\sqrt{u}$の確率密度関数を導出してみます。$du/dp=2p$を使い、変数変換の公式を使うと、$p$の確率密度関数は次のようになります。
\begin{aligned}f_p(p)&=2pf_u(u)\\&=\frac{2p}{\Gamma(\frac{3}{2})}\frac{1}{2mkT}\left(\frac{u}{2mkT}\right)^{3/2-1}\exp{\left(\frac{-u}{2mkT}\right)}\\&=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{p^2}{(mkT)^{3/2}}\exp{\left(\frac{-p^2}{2mkT}\right)}\end{aligned}
さらに$v=p/m$で、$dp/dv=m$を使い変数変換の公式を使うと、速さ$v$の確率密度関数は
\begin{aligned}f_v(v)&=mf_p(p)\\&=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\left(\frac{m}{kT}\right)^{3/2}v^2\exp{\left(\frac{-mv^2}{2kT}\right)}\\&=4\pi v^2\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\exp{\left(\frac{-mv^2}{2kT}\right)}\end{aligned}
となり、↓のWikipediaに乗っているのと同じマクスウェル分布が導出できました。
マクスウェル分布 -Wikipedia-
$N$個の自由粒子の場合
質量$m$の$N$個の粒子が3次元運動しているとき、エネルギー$E$は次のようになります。
E=\frac{1}{2m}\left(p_1^2+p_2^2+\cdots+p_{3N}^2\right)
これまでと同様に、$p _ 1,p _ 2,\cdots$は独立で、それぞれ$\mathcal{N}(0,mkT)$に従います。よって$p _ 1 ^ 2,p _ 2 ^ 2,\cdots$は独立にガンマ分布$Ga(\frac{1}{2},2mkT)$に従います。よってガンマ分布に従う確率変数同士の和の性質から
\begin{aligned}p_1^2+p_2+\cdots +p_{3N}^2&\sim Ga(\frac{3N}{2},2mkT)\\E=\frac{p_1^2+p_2+\cdots +p_{3N}}{2m}&\sim Ga(\frac{3N}{2},kT)\end{aligned}
よって$N$個の自由粒子の総エネルギーの期待値$\langle E\rangle$は
\langle E\rangle=\frac{3}{2}NkT
となります。
まとめ
今まで出てきた物理量の分布を表にまとめます。
| 物理量 | 分布 | 期待値 |
|---|---|---|
| 自由粒子の$x$方向の速度$v _ x$ | $\mathcal{N}(0,kT/m)$ | $0$ |
| 自由粒子の$x$方向の運動量$p _ x$ | $\mathcal{N}(0,mkT)$ | $0$ |
| 自由粒子の$p _ x ^ 2$ | $Ga(\frac{1}{2},2mkT)$ | $mkT$ |
| 3次元1自由粒子のエネルギー$E$ | $Ga(\frac{3}{2},kT)$ | $\frac{3}{2}kT$ |
| 自由粒子の速さ$v=\sqrt{v _ x ^ 2+v _ y ^ 2+v _ z ^ 2}$ | マクスウェル分布 | $\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$ |
| $N$個の自由粒子の総エネルギー$E$ | $Ga(\frac{3N}{2},kT)$ | $\frac{3}{2}NkT$ |
感想
ボルツマン因子$e ^ {-E/kT}$からマクスウェル分布が導出できました。
ただ、ボルツマン因子は熱浴の議論やカノニカルアンサンブル理論から導出されるもので、指数のエネルギー(ハミルトニアン)$E$の形に依りません。なので外力がかかったりして$E$の形が変わっても使えます。
一方、マクスウェル分布は自由粒子の仮定のもと導出したので、自由粒子でない場合はマクスウェル分布はそのままでは使えないです(ように思えます)。ボルツマン因子の方がマクスウェル分布より汎用的であるといえそうです。
Markdownをはてな流Markdownにパースする
Markdown中の数式をてなブログのはてな流の数式に変換するプログラムをつくりました。Markdownファイル全体を一括で変換します。
GitHub - SolKul/md_2_hatena_md
使用方法
md_parserフォルダ内のmd_parser.pyを次のようにインポートして使います。
from md_parser import md_parser md_parser.parse_md_to_hatena(pathlib.Pathオブジェクト,style="default")
styleでスタイルを指定できます。
- デフォルトの
defaultははてなブログにそのまま数式を渡す形になります。はてなブログは数式の表示にGoogle Charts APIかMathJaxを使っているらしいです。これはかなり遅いです。 katexを指定すれば、KaTeXで高速にレンダリングしてくれるようになります。KaTeXのテスト - 七誌の開発日記のコードをお借りしました。また、数式についてはてなキーワードの自動リンクを無効にするようにしているので、はてなキーワードの自動リンクに気を遣う必要はありません。
レポジトリ内のmain.pyを実行するとSample.mdがパースされ、パースされたSample_hatena.mdというファイルができるはずです。
動機
Markdownをはてな記法(html)に変換したり、その中に含まれる数式をSVG形式にして軽くしたりといろいろやってきました。
数式をSVG化することで表示速度を12倍高速化した - あおいろメモ
しかし、はてな記法はhtmlなので、後からちょっと誤字脱字を直したいといったちょっとした編集をする際にどこを直せばいいか分かりにくいといった難点があります。また、数式が大量にある記事の場合ははてな記法を使って数式をSVG化して軽くした方がいいですが、大量に数式がない場合ははてな記法を持ち出さなくてもMarkdownでお手軽に書けた方が嬉しいです。そこで、このようなプログラムを作りました。
- 画面半々にしてプレビューできるがスクロールが同期しない
- 数式がプレビューされない
- 数式の記法がLaTeXの普通の記法と異なる(キャレット、アンダーバーなど)
- いろいろ特有のクセがある(後述)
と使いにくいです。
VSCodeでMarkdownを書く
そこで、VSCodeの拡張機能の一つであるMarkdown Preview EnhancedでMarkdownをプレビューしながら文章や数式を書き、それをはてな流のMarkdownに変換することにします。
これを使えば数式を含むQiitaの記事をはてなブログに移植するのも楽になると思います。
Markdown Preview Enhancedについてはこちら
Visual Studio Code + markdown preview enhanced は最高なノートだと思う - Qiita
ただ、はてなブログのMarkdown特有のクセには注意が必要です。たとえば、箇条書きの直後に番号付きリストをつけるとバグる、バッククォートを含むコードがコードブロックで書けないなどなど。注意しましょう。
数式の記法
Markdown Preview Enhancedではいくつかの数式の挿入方法がサポートされていますが、そのうち$$で囲まれたブロック数式、$で囲まれたインライン数式に対応しています。しかし、
```math
e^{i\pi} = -1
```
には対応していません。
実装
もとのmdファイルをリスト化し、文章全体を標準ブロック、数式ブロックなどとブロックごとのリストに分けてます。標準ブロックについては標準ブロック内のインライン数式をre.findallですべて検索し、順次はてな流インライン数式に変換します。数式ブロックにつていもはてなブログ用の数式ブロックになるように変換します。最後に"".join()で結合し、保存しています。
数式の変換については(styleでdefaultを指定した場合)
- ブロック数式(
$$で囲まれた数式)
については
<div align="center">[tex:と]</div>で囲む]を\]に置換<、>を\lt、\gtに変換
と変換します。
- インライン数式(
$で囲まれた数式)
については
[tex:\displaystyle{と}]で囲む^(指数)の後ろにスペースを挿入_(添え字)の前後にスペースを挿入\{,\},]を\\{,\\},\\]に置換<、>を\lt、\gtに変換
必要環境
python3.8以上。pathilibモジュールを使います。
参考サイト
以下のサイトを参考にさせていただきました。ありがとうございました。
射影平面をいくつかの方法で図示してみる
射影平面をいくつかの方法で図示してみる
こんにちはSolKulです。
今、この参考書で多視点幾何学について勉強しています。
Multiple View Geometry in Computer Vision
Second Edition
Multiple View Geometry in Computer Vision (English Edition)
- 作者:Hartley, Richard,Zisserman, Andrew
- 発売日: 2004/03/25
- メディア: Kindle版
この参考書のPrefaceの1.1での射影幾何学、射影平面についての説明が出てきますが、最初読んだとき訳が分かりませんでした。分かりにくい原因は幾何学の理論を図なしで言葉だけで説明しようとしているためだと思われます。その後いろいろ調べ、射影空間のうち二次元射影空間である射影平面について、いくつかの方法で図示できることがわかったのでメモしておきます。
射影空間の導入
普段我々が慣れ親しんでいる空間の取り扱い方は、ユークリッド幾何学と呼ばれます。平面上の座標を$(x,y)$と2つの数で表すようなやり方です。しかし、このユークリッド幾何学には一つ大きな欠点があります。それは「2つの直線は1点で交わる」という法則に例外を作らないといけないという点です。その例外というのは平行です。平行な直線同士はどこまで行っても交わりません。
例外を回避するために、平行な直線は無限遠の点で交わると定義すればいいかもしれませんが、今度は無限遠の点が厳密に定義できません。このようなユークリッド幾何学の欠点を解決するために、ユークリッド空間に加えて無限遠の点も考慮する空間を考えます。これを射影空間と呼びます。
具体的には、通常、ユークリッド2次元空間上の点は$(x,y)$で表せられますが、射影空間ではそこに1つ座標を加えて$(x,y,1)$と表すことにします。また、3つの数の組で表せられる射影空間の座標は定数倍しても同じものを表すと定義します。つまり$(x,y,1)$も$(2x,2y,2)$も同じ点を表します。数学的に正式には、「定数倍した3つの数の組の座標同士が同値であるとしたとき、ユークリッド平面の点はの3つの数の組の座標の同値類(equivalent class)で表せられる」と言います。このような座標のことを同次座標(homogeneous coordinate)と呼びます。
$(x,y,1)$は最後の$1$を除くことでいつでも$(x,y)$ともとのユークリッドの表現に戻すことができますが、$(x,y,0)$についてはどうでしょう？これに対応するもとのユークリッドの座標は存在しません。もし、最後の3つの目の座標で、前2つの座標を割ろうとすれば、$(x/0,y/0)$となり、これは無限になります。こうして考慮に入れたかった無限遠の点が現れてくのです。
以上のことはどんな次元でも同様で、ユークリッド空間$\mathbb{R} ^ n$は、点を同次ベクトルとして表すことで、射影空間$\mathbb{P} ^ n$に拡張する事ができます。また、先程出てきた無限遠点は$\mathbb{P} ^ 2$では直線となることが明らかになります。それを無限遠直線(The line at infinity)と呼びます。また、3次元射影空間$\mathbb{P} ^ 3$では無限遠点は無限遠平面(The plane of infinity)となります。
射影平面の図示
射影平面$\mathbb{P} ^ 2$はユークリッド平面を拡張した概念なので、図示の仕方は1通りではありません。ここではいくつかの図示の方法を示します。
平らな地面を撮った写真
ユークリッド空間にとって無限遠点は特別な存在でしたが、射影空間では無限遠点も考慮に入れているので、なんら特別でなく、すべての点は等しく扱われます。また平行線というのは無限遠点で交わる線です。よって無限遠点が特別な点ではないので、射影空間では線の平行性の概念はありません。 平行であることは射影幾何学の概念ではないと言えます。
このことを頭に入れて、図を書いてみます。図を書く手順は、白い紙を用意し、それが無限に広がっていると想像します。これが射影平面$\mathbb{P} ^ 2$だと考えるのです。まず、
紙に直線を描き、これが無限遠直線であることを宣言します。無限遠点は特別な存在ではないので、紙の上に適当に書いてもいいはずです。
次に、この無限遠直線で交差する他の2本の線を描画します。それらは「無限遠直線」で出会うので、平行であると定義できます。(さっき平行の概念はないといったのに、平行を定義しているのはなんか変ですが、細かいことは気にしないようにします。)
これを図示すると以下のようになります。
どう見ても平行ではない線を平行だと定義する、おかしな図になってしまっています。しかし皆さんはこのようなおかしな状況を1度は目にした事はあるのではないでしょうか。
実はこの図は平らな地面を写真を撮ったときと同じようなものです。無限遠点は水平線上に存在します。そして線路のような地面の上では平行な2つの直線は写真上では水平線上で交わるように見えます。かなり強引な解釈すれば、地面というユークリッド平面を、写真という射影平面に射影したとも言えなくもないです。
平面に単純に無限遠点を加える
先程は平行でない線を平行と定義してしまいましたが、今度は平行は平行のままで図示する方法です。
平面とその周りに円を書きます。この円を無限遠直線とします。平面に平行な線を書いてみます。そしてその平行な線は無限遠点で交わるのですから、周りの円の上にその平行な直線に対応する無限遠点が一つあるはずです。別の方向の平行な直線についても対応する無限遠点が無限遠直線上にあります。
直線が途中で無理やり折れ曲がっていたり、無限遠直線が曲がっていたりとこれも少し変な図になっています。
半球を貼り合わせたもの
いままでの図示では平行や無限遠点が出てきてしまっていました。本来、射影平面ではすべての点は等しく扱われ、平行という概念はないはずです。そのような図示の仕方を考えます。
半球を考えます。半球にまっすぐな線をひこうとすると、球に沿って曲がってしまいますが、半球の上に立っている小人から見ればほぼ直線です。また半球は貼り合わさられており(図示できないですが)、半球の端の点は反対側の端の点と同一視します。オレンジの直線は半球の端で反対側のオレンジの点にワープする感じです。そしてこの半球上の2つの直線は必ず一点で交わります。
この考え方であれば、平行も無限遠点も出てこず、すべての点と直線は等しく扱えます。
3次元空間で原点を通る直線
今度は、「射影空間の導入」の節で説明した同次座標をそのまま表す方法です。
まず3次元空間を考え、ユークリッド平面を$z=1$の平面に対応させます。ユークリッド平面上の点を図のように3次元空間上の原点を通る直線に対応させます。説明したように、射影平面では「定数倍した3つの数の組の座標同士が同値であるとしたとき、ユークリッド平面の点はの3つの数の組の座標の同値類(equivalent class)で表せられる」と言いました。この直線は定数倍した3つの数の組の座標の集合ですので、これがまさに同値類です。
そして平行とその交点はどうなるのでしょうか？まず、下図のように2つ直線の交点を考えてみます。この図示の方法ではこの交点は原点を通る直線に対応します。この2つの直線を徐々に平行に近づけていくとどうなるでしょうか？その交点は矢印の方向へ向かうように思えます。
そして最終的に2つの直線が平行になると、交点に対応する直線は、$z=0$の平面上に横倒しになるように思えます。
この$z=0$の平面上の直線がユークリッド平面にとっての無限遠点となります。これは同次座標の$(x,y,0)$が無限遠点だと説明したこととも一致します。
そしてこの図示の方法を使えば無限遠点の集合が直線になることも説明できます。直線がユークリッド平面の点に対応するのですから、平面はユークリッド平面の直線に対応するはずです。実際、原点を通る平面をと$z=1$の平面が交差を考えればそれは直線となります。そして先ほど説明した無限遠点に対応する$z=0$の平面上の直線を集めれば、$z=0$平面となります。平面はユークリッド平面での直線に対応するのですから、無限遠点の集合は直線、つまり無限遠直線(The line at infinity)となります。
この最後の図示の方法は同次座標との対応が取れるので厳密な議論に向いているそうです。
終わりに
もっと射影空間を理解したかったのなら多様体の教科書をよんだほうがいいかもしれません。私もこの記事を書いている途中でこれらの図示をする時間があればその時間を使って多様体の教科書を読んだほうがいいんじゃないかと思い始めました。しかし、個人的にきれいな図を残して知識を整理してみたかったのでこの記事を作ってみました。
射影空間について理解したいときに参考になれば幸いです。
