一次元のトンネル効果(後編)

1次元のトンネル効果の導出 - あおいろメモ

前編では参考書p124式(13b)'の導出までを行ったが、後編では5-14図の図示の再現までを行う

\left|\frac{C}{A}\right|^2=\left[1+\frac{V_0^2\sinh^2\alpha a}{4\varepsilon(V_0-\varepsilon)}\right]^{-1}\tag{13b'}

グラフの図示のために

\varepsilon'=\frac{\varepsilon}{V_0}

とすると、前編の式(13b)'は

\begin{aligned}\left|\frac{C}{A}\right|^2=&\left[1+\frac{\sinh^2\alpha a}{4\varepsilon'(1-\varepsilon')}\right]^{-1}\end{aligned}

となる。また、

\frac{ma^2}{\hbar^2}V_0=8

として式(13b)'の \sinh^2\alpha a の中の \alpha a を計算しておくと、

\begin{aligned}\alpha a&=a\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V_0-\varepsilon)}\\&=\sqrt{\frac{2ma^2}{\hbar^2}V_0(1-\varepsilon')}\\&=4\sqrt{1-\varepsilon'}\end{aligned}

よって

\begin{aligned}\left|\frac{C}{A}\right|^2=&\left[1+\frac{\sinh^2 4\sqrt{1-\varepsilon'}}{4\varepsilon'(1-\varepsilon')}\right]^{-1}\end{aligned}

極限

\varepsilon\'\to 0 のとき

\begin{aligned}\lim_{\varepsilon'\to 0}\left|\frac{C}{A}\right|^2&=\lim_{\varepsilon'\to 0}\left[1+\frac{\sinh^2 4\sqrt{1-\varepsilon'}}{4\varepsilon'(1-\varepsilon')}\right]^{-1}\\&=0\end{aligned}

\varepsilon\'\to 1 のとき

4\sqrt{1-\varepsilon'}=\beta

とおくと、

1-\varepsilon'=\frac{\beta^2}{16}
\begin{aligned}\frac{\sinh^2 4\sqrt{1-\varepsilon'}}{4\varepsilon'(1-\varepsilon')}&=4\frac{\sinh^2 \beta}{(1-\beta^2/16)\beta^2}\\&=\frac{4}{1-\beta^2/16}\left(\frac{\sinh \beta}{\beta}\right)^2\end{aligned}

\varepsilon\'\to1 のとき \beta\to0 で、なおかつ、

\lim_{\beta\to0}\frac{\sinh \beta}{\beta}=1

だから、

\begin{aligned}\lim_{\varepsilon'\to 1}\left|\frac{C}{A}\right|^2&=\lim_{\varepsilon'\to 1}\left[1+\frac{\sinh^2 4\sqrt{1-\varepsilon'}}{4\varepsilon'(1-\varepsilon')}\right]^{-1}\\&=\lim_{\beta\to 0}\left[1+\frac{4}{1-\beta^2/16}\left(\frac{\sinh \beta}{\beta}\right)^2\right]^{-1}\\&=(1+4)^{-1}\\&=\frac{1}{5}\end{aligned}

実は \varepsilon>V_0 の場合と式は同じ

\varepsilon>V_0 のときは

\left|\frac{C}{A}\right|^2=\left[ 1+\frac{V_0^2 \sin^2{\kappa a}}{4\varepsilon(\varepsilon-V_0)}\right]^{-1}

であったが、

\kappa a=4\sqrt{\varepsilon'-1}

だから

\left|\frac{C}{A}\right|^2=\left[ 1+\frac{\sin^2{4\sqrt{\varepsilon'-1}}}{4\varepsilon'(\varepsilon'-1)}\right]^{-1}

となるが、実はこれは式(13b)'で、

\sinh{x}=-i\sin{ix}

とすれば導くことができる。よって虚数が表に出ないように別の式にしているだけで \varepsilon>V_0 の場合も、 \varepsilon<V_0 の場合も実は同じ式で表せる。

振幅比が1となる \varepsilon\'

\kappa a=n\pi

\left|\frac{C}{A}\right|^2=1

となるが、このとき、

\varepsilon'=\frac{n^2\pi^2}{16}+1

図示

\frac{ma^2}{\hbar^2}V_0=8

の場合について透過率( |C/A|^2 )を図示する。

\begin{aligned}\left|\frac{C}{A}\right|^2=\left\{\begin{matrix}0& \varepsilon'=0\\\left[ 1+\frac{\sinh^2 4\sqrt{1-\varepsilon'}} {4\varepsilon'(1-\varepsilon')}\right]^{-1} & 0<\varepsilon'<1\\\frac{1}{5}&\varepsilon'=1\\\left[ 1+\frac{\sin^2{4\sqrt{\varepsilon'-1}}} {4\varepsilon'(\varepsilon'-1)}\right]^{-1} & \varepsilon'>1\end{matrix}\right.\end{aligned}

0\le\varepsilon\'\le8 で図示する

\varepsilon'=1
\left|\frac{C}{A}\right|^2=1\quad\therefore\varepsilon'=\frac{n^2\pi^2}{16}+1

となる直線も同時に示す。

f:id:SolKul:20201226233513p:plain
入射エネルギーを変えたときの透過率(振幅比)

\varepsilon\'<1 でも振幅比が0以上となり、粒子の存在確率が漏れ出ている事がわかる。これがトンネル効果である。